Mécanique des solides indéformables
Définitions
\(\triangleright\) Définitions des solides indéformables
Un solide indéformable est fait de particules mésoscopiques de masse \(dm={{\rho d\tau}}\) réparties continûment.
On appelle solide indéformable les solides pour lesquelles la distance entre des points \(A\) et \(B\) quelconques ne varie pas au cours du temps.
Masse
\(\triangleright\) Masse d'un solide indéformable
Le solide indéformable est fait de particules mésoscopiques de masse différentes.
Pour chaques particules de volume \(d\tau\) et de masse volumique \(\rho(M)\), leur masse est la suivante:
$$dm={{\rho(M)d\tau}}$$
La masse du solide \((S)\) indéformable est donc:
$$M={{\iiint_{M\in S} dm(M)}}=\iiint_{M\in S} \rho(M) d\tau$$
\(\triangleright\) Cas de la masse d'un solide indéformable homogène
Si \((S)\) est homogène: \(\rho(M)=\rho_0\) alors
$$M=\rho_0\iiint d\tau={{\rho_0V_{S} }}$$
Centre de masse
Centre de masse (Pour un solide indéformable)
Moment d'inertie
Moment d'inertie (Pour un solide indéformable)
Moment des forces
Moment d'une force
Moment cinétique
Théorèmes
Théorème d'Huygens
Champ de vitesse
\(\triangleright\) Vitesse d'un point d'un solide indéformable
Dans un solide indéformable \((S)\) les vecteurs vitesse sont corrélés: connaissant \(\vec\Omega\) et la vitesse en un point (ex: Centre de masse), on en déduit la vitesse en tout point \(M\in S\):
$$\vec V_{M_R}={{\vec V_{C_R}+\vec\Omega \wedge \vec{CM} }}$$
:
Soit un solide \((S)\), \(R_s\) le référentiel du solide et \(R\) le référentiel d'étude galiléen.
On pose \(\vec \Omega=\vec \Omega_{R_s/R}\)
\(S\) est un solide indéformable si la distance \(AB\) entre 2 particules queqlconque de \(S\) est constante. (\(||\vec {AB}||=c\quad \forall A,B\in s\))
Si \((S)\) est indéformable, alors \((S)\) est nullement déformé par les actions subies.
Pour un observateur lié à \(R\) : \(\vec {AB}=\vec c\iff \frac{d\vec{AB} }{dt}=\vec 0\)
Conséquence : Dans \(R\), on a:
$$\left.\frac{d\vec{AB} }{dt}\right]_R=\left.\frac{\vec{AB} }{dt}\right]_{R_S}+\vec\Omega\wedge \vec{AB}$$
On déduit de l'invariance des distances entre les points de \((S)\):
$$\left.\frac{d\vec{AB} }{dt}\right]_R=\vec\Omega\wedge \vec{AB}$$
On cherche maintenant à déterminer la vitesse des point \(A\) et \(B\):
$$\left.\frac{d\vec{AO} }{dt}\right]_R+\left.\frac{d\vec{OB} }{dt}\right]_R=\vec \Omega\wedge\vec{AB}$$
$$-\vec V_A+\vec V_B=\vec \Omega\wedge \vec{AB}$$
On a finalement:
$$\vec{V_{B/R} }=\vec V_{A_R}+\vec \Omega\wedge\vec{AB}$$
Energies
Energie Cinétique (Pour une rotation d'un solide indéformable)
Théorème du moment cinétique (Moment cinétique d'un solide indéformable en rotation)
Statique d'un solide indéformable
Pourqu'un solide \((S)\) soit en équilibre dans un référentiel galiléen, il faut que:
- \(\sum\vec F_{ext}=\vec 0\) (pas de translation)
- \(\sum\vec M_0(\vec F_{ext})=\vec 0\) (pas de rotation)